Pré-requis : Les élèves ont déjà été entraînés à utiliser les relations 1 min = 60 s et 1 h = 60 min, par exemple à la période précédente. Il peut être utile de leur rappeler ces équivalences à chaque fois que nécessaire.

Les étapes mathématiques s’articulent avec les étapes d’EPS de la façon suivante :

• Premières étapes en EPS. Les élèves s’approprient le dispositif et élaborent leurs premiers projets de performance.
• Premières étapes en mathématiques. À partir de cas fictifs judicieusement choisis, les élèves (re)découvrent des techniques de résolution de problèmes de proportionnalité dans le contexte de vitesse (lien entre durée et distance parcourue). Le concept de vitesse moyenne est problématisé. Les élèves comprennent que le numéro du plot correspond à la vitesse moyenne en km/h et un lien explicite est fait avec leurs propres performances en EPS.
• Étapes suivantes en EPS. Les élèves s’entraînent en faisant du lien entre leur projet d’entraînement et leur vitesse moyenne au cours des séries.
• Étapes suivantes en mathématiques. Les élèves approfondissent leurs compétences en résolution de problèmes dans des contextes mettant en jeu des vitesses.

Présentation synthétique des premières étapes mathématiques

Les premières étapes sont les suivantes :

1. Calcul de la durée totale de course durant une série, c’est-à-dire 2 min.
2. Calcul des distances correspondant à 20 s, 30 s, 1 min puis 2 min pour le plot 27 (ou le plot 30 si on souhaite favoriser des calculs avec des nombres décimaux).
3. Choix individuel de chaque élève d’une ou plusieurs durées et calcul des distances correspondantes.
4. Calcul de la distance parcourue en 1 h.
5. Institutionnalisation du concept de vitesse moyenne.
6. Calcul individuel par chaque élève de la vitesse moyenne correspondant au plot qu’il vise en EPS.

L’institutionnalisation du concept de vitesse moyenne peut aussi être reportée après l’étape 6 selon la compréhension des élèves.

Chaque étape propose une phase individuelle puis des vérifications et des échanges entre élèves avant une mise en commun collective. Des propositions de consignes sont formulées pour chaque étape.

Le déroulement des différentes étapes peut s’étendre sur une ou deux séances selon les compétences des élèves.

Pourquoi une vérification et des échanges entre élèves avant la correction collective ?

La vérification entre élèves permet aux élèves de travailler sur différentes techniques de résolution d’un problème de proportionnalité et de les verbaliser entre eux. C’est un moment de communication véritable susceptible de favoriser ensuite une « correction » collective synthétique, courte et efficace. De plus, davantage d’élèves auront exercés leur compétence à communiquer et argumenter à l’oral que si la correction est uniquement collective.

Usage de la calculatrice : libre ou non ?

Les compétences variées en calcul mental ou posé ne doivent pas être ici un obstacle à l’exploration et au travail des élèves. L’objectif prioritaire est de travailler des techniques de résolution de problème de proportionnalité. Les faiblesses de certains élèves vis-à-vis du calcul ne doivent donc pas constituer un obstacle à l’atteinte de cet objectif. Dans la perspective d’une conception universelle des apprentissages (CUA), la calculatrice peut être disponible pour tous les élèves qui le souhaitent.

Conseil sur le choix des calculatrices : éviter les calculatrices qui utilisent la notation anglo-saxonne, c’est-à-dire une apostrophe pour séparer les milliers et les millions, au risque d’embrouiller certains élèves qui peuvent la confondre avec la virgule de l’écriture décimale.

Calculs effectués sur une ardoise ou non ?

L’ardoise a l’avantage d’être pratique. Elle a l’inconvénient d’obliger les élèves à effacer leurs calculs s’il manque de place, ce qui peut nuire à leurs raisonnements et leurs essais. Le choix est à effectuer en fonction des compétences des élèves. S’ils sont à l’aise avec les calculs demandés, l’ardoise peut être appropriée. Sinon, une feuille ou un cahier peut être préférable.

Le choix peut aussi être laissé à chaque élève considérant que c’est un moyen pour eux d’apprendre à gérer en autonomie le choix de leurs outils de travail, accompagné de suggestions de l’enseignant.

La ressource annexe Débats et interactions en mathématiques traite des principales difficultés généralement rencontrées par les enseignants pour organiser des débats ou des échanges entre les élèves en mathématiques et proposent des pistes pour les éviter ou y remédier.

Consigne 1. Calcul du temps total de course

On imagine qu’un coureur a couru la même série que vous mais en réussissant le plot 27 [ou 30, voir ci-dessous] à chaque course. Au total, combien de temps a-t-il couru ?

La réponse est 120 s, c’est-à-dire 2 min. Ce problème est simple à résoudre. Les élèves vont retrouver ces 2 min à la consigne suivante.

Pourquoi choisir le plot 27 ou le plot 30 ?

Le choix d’une série réussie au plot 27 ou 30 s’explique par le fait que ces plots ne peuvent pas être atteints par des élèves de cycle 3. À la dernière consigne de l’étape mathématique, ils réinvestiront les connaissances acquises avec l’exemple du plot 27 ou 30 pour effectuer des calculs basés cette fois sur leur propre performance en EPS.

Le plot 27 correspond à une course sur une distance de 75 m en 10 s, ce qui implique essentiellement des calculs avec des nombres entiers. Mais les calculs de certains élèves peut bien sûr les mener à rencontrer des nombres décimaux.

Le plot 30 correspond à une course sur une distance de 83,33 m en 10 s, ce qui implique d’emblée des calculs avec des nombres décimaux.

Consigne 2. Calculer des distances correspondant à 20 s, 30 s, 1 min et 2 min

Recherche individuelle

Un tableau (facultatif) permettant aux élèves d’écrire leur réponse est proposé en annexe.

On imagine que le coureur qui court au plot 27 [ou 30] court toujours à une vitesse constante. Il ne freine pas, il n’accélère pas. On « imagine » car cela est impossible. Autrement dit, on modélise une situation de course.

En 10 s, ce coureur court 75 m [83,33 m dans le cas du plot 30].

• Combien court-il en 20 s ?
• En 30 s ?
• En 1 min ?
• En 2 min ?

Dans le temps imparti (au choix de l’enseignant), les élèves vont répondre selon leurs compétences à une ou plusieurs de ces questions. L’objectif n’est pas que tous les élèves trouvent toutes les distances manquantes mais qu’ils réfléchissent aux stratégies possibles.

Même en cycle 3, certains élèves seront peut-être plus à l’aise avec une calculatrice. L’essentiel ici n’est pas qu’ils soient bloqués par les calculs mais qu’ils soient en capacité de chercher des procédures valides. La calculatrice peut donc être disponible pour tous les élèves (conception universelle des apprentissages).

Présenter ou non cette tâche sous forme de tableau ?

Lorsqu’on propose des problèmes de proportionnalité aux élèves, le choix de la mise en forme d’un tableau n’a rien d’obligatoire. Le risque est qu’ils associent trop systématiquement tableau de nombres et situation de proportionnalité, ce qui peut poser problème à de nombreux élèves de l’école et du collège.

Sans utiliser de tableau, il faut éviter des écritures telles que 10 s = 15,4 m, équivalence qui peut par exemple s’écrire 10 s → 15,4 m. À l’inverse, au lieu d’écrire 120 s → 2 min, il vaut mieux écrire 120 s = 2 min.

Ici, le choix d’utiliser ici un tableau peut être explicitement justifié par le fait qu’il va permettre de regrouper facilement l’ensemble des résultats que les élèves auront à calculer pendant la séance.

Pourquoi choisir les cas 20 s, 30 s, 1 min et 2 min ?

Les calculs à mener sont simples du fait des nombres choisis. De plus, ils permettent d’utiliser des procédures additives ou multiplicatives, ce qui favorise a priori la réussite de tous les élèves tout en montrant la variété des procédures possibles. Les calculs ne mobilisent que des secondes et des minutes.

D’autres calculs similaires peuvent être proposés aux élèves, par exemple pour gérer l’hétérogénéité de la classe. L’enseignant peut par exemple indiquer que certains calculs sont à effectuer par tous les élèves, les autres étant à effectuer s’ils le souhaitent, avec les encouragements de l’enseignant !

Dans les calculs, certains nombres doivent être accompagnés de leur unité respective alors que ce n’est pas le cas pour d’autres ?

Si un nombre correspond à une distance, il doit être accompagné d’une unité de longueur. S’il correspond à une durée, il doit être accompagné d’une unité de durée. C’est ce que Catherine Houdement (2011, p. 74) appelle qualifier un nombre. En indiquant l’unité, l’élève et l’enseignant peuvent plus facilement contrôler la validité des calculs effectués. Ainsi, contrairement à une tradition qui remonte à l’époque de l’introduction des « Mathématiques modernes » dans les années 60 en France, les unités doivent figurer dans les calculs. C’est aussi ce que demandent les instructions en vigueur dans l’Éducation nationale (voir les nombreux exemples du document Grandeurs et mesures au cycle 3, de même que le document équivalent pour le cycle 2).

D’autres nombres n’ont pas d’unité, ce sont des nombres scalaires. Cette terminologie ne nécessite pas a priori d’être utilisée avec les élèves. Par exemple, si je cours 20 m en 3 s, en multipliant la distance par 2 (nombre sans unité), je conclus que je cours 40 m en 6 s.

Références

• Houdement, Catherine. (2011). Connaissances cachées en résolution de problèmes arithmétiques ordinaires à l’école. Annales de didactique et de sciences cognitives, 16, 67‑96. https://hal.science/hal-03198370v1

Vérification/échanges entre élèves

Avec d’autres élèves, vérifiez vos résultats et identifiez/trouvez deux méthodes différentes pour le cas « 2 min ».

L’enseignant mène une correction collective après les échanges entre élèves.

La mise en commun des résultats et des techniques trouvées visera à explorer différentes techniques additives et multiplicatives possibles et à expliquer pourquoi certaines techniques sont invalides. À ce stade, un affichage pourra synthétiser ces techniques pour mémoire. Cela peut aussi être fait à un autre moment.

Consigne 3. Choix d’une durée et calcul de la distance correspondante

Recherche individuelle

Choisissez chacun une durée, calculez la distance correspondante par une ou plusieurs méthodes de votre choix.

Des élèves risquent d’utiliser des nombres ou des cas trop simples par rapport à leurs compétences (par exemple calculs uniquement basés sur des doubles). Il est possible de les encourager à traiter d’autres cas.

D’autres élèves peineront à choisir des nombres. Il est possible de les solliciter individuellement pour qu’ils choisissent tout de même 2 ou 3 nombres, de proposer des nombres choisis par d’autres élèves, ou encore de leur proposer directement des nombres adaptés à leur niveau de compétence.

Quel est l’intérêt de laisser chaque élève choisir une durée ?

Cette consigne met en œuvre la conception universelle des apprentissages (CUA) qui permet de prendre en charge l’hétérogénéité de la classe. L’objectif est le même (réinvestir différentes techniques vues précédemment) mais chaque élève peut choisir un calcul qui semble à sa portée : certains élèves choisiront par exemple 40 s, 50 s ou 3 min alors que d’autres plus à l’aise avec ce sujet pourraient par exemple choisir 153 min 50 s ou encore 3h 40 min 10 s.

Les élèves travailleront avec des nombres différents mais les procédures seront similaires, c’est tout l’intérêt de cette option d’organisation.

Comment gérer la correction si les élèves ne choisissent pas la même durée ?

Ce type d’organisation est peu habituel dans les classes en France, il a quelques avantages ici.

La phase suivante (vérification/échanges entre élèves) peut permettre de corriger la plupart des erreurs commises par les élèves. En effet, les élèves pourront repérer entre eux les erreurs les plus évidentes.

Une mise en commun de quelques cas traités par les élèves peut servir de modèle pour identifier à nouveau les techniques valides et les techniques invalides.

L’enseignant peut aussi vérifier les calculs effectués individuellement, notamment ceux de certains élèves qu’il aura repérés. Mieux vaut éviter de corriger toutes les productions individuelles durant la classe, car ceci causera l’attente peu pertinente de plusieurs élèves.

D’autres calculs, cette fois donnés par l’enseignant, permettront d’évaluer plus sûrement les acquisitions des élèves.

Vérification/échanges entre élèves

Avec d’autres élèves :

• Vérifiez et comparez vos résultats et les techniques employées.
• Écrivez le résultat de vos échanges sur une feuille que je ramasserai. La feuille doit contenir :
  • les noms des membres du groupe
  • les cas traités
  • les techniques utilisées
  • les résultats obtenus.

Les groupes peuvent être homogènes ou hétérogènes, chaque option ayant son intérêt. L’objectif est que les élèves affinent leur connaissance des différentes techniques possibles à employer. L’enseignant pourra vérifier l’état d’acquisition des compétences des élèves en consultant les travaux des élèves.

Les élèves n’ont pas choisi la même durée mais ils vérifient quand même entre eux ?

Oui, cela les incite à expliciter leurs stratégies plutôt qu’à vérifier uniquement les valeurs obtenues. Du fait de la variété des valeurs, les élèves n’auront pas toujours utilisé les mêmes calculs mais ce seront toujours des stratégies additives ou multiplicatives telles que celles vues pour les premiers cas 20 s, 30 s, 1 min ou 2 min. Les traces écrites permettent à l’enseignant de vérifier a posteriori que les calculs effectués sont valides.

La calculatrice à disposition limite les erreurs élémentaires de calcul.

Il peut être utile d’indiquer d’indiquer à certains élèves que le risque d’erreurs de calcul peut augmenter avec le nombre de calculs.

Consigne 4. Calcul de la distance parcourue en 1 h

Recherche individuelle

1. Individuellement, calculez la distance parcourue en 1 h au plot 27 [ou 30 selon le plot choisi par l’enseignant].
2. Calculez-la en mètres.
3. Convertissez-la en kilomètres.
4. Identifiez le lien avec le numéro du plot 27 [ou le plot 30].

Suggestions :

• Écrire ces consignes au tableau à l’aide d’une liste numérotée pour s’assurer que les élèves identifient bien les quatre parties de la consigne.
• Scinder éventuellement en plusieurs consignes données au fur et à mesure du travail des élèves.

Vérification/échanges entre élèves

Avec d’autres élèves, vérifiez et comparez vos résultats et les techniques employées.

La phase d’échanges entre élèves est suivie d’une mise en commun courte et synthétique qui met en évidence les résultats attendus, quelques techniques mobilisables et le lien avec le numéro du plot (voir l’institutionnalisation proposée ci-dessous).

Institutionnalisation

Selon la compréhension des élèves, l’institutionnalisation du concept de vitesse moyenne peut aussi être reportée après l’étape suivante.

Voici un exemple de trace d’institutionnalisation possible :

Le coureur imaginaire a réussi le plot 27. S’il court 1 h toujours à la même vitesse, il parcourt 27 km. Il court 27 « km par heure », c’est-à-dire qu’il parcourt 27 km à chaque heure qui passe. On dit que sa vitesse moyenne est de 27 km/h. Le numéro du plot indique la vitesse moyenne en km/h (on prononce soit « kilomètre par heure » soit « kilomètre heure »).

Consigne 5. Calcul correspondant à un plot réussi en EPS et vérification

• Recommence les mêmes calculs pour le plot avec lequel tu réussis tes séries.
• Vérifie et compare tes résultats avec d’autres élèves
  • Quel est le plot réussi ?
  • Quelle distance est parcourue en 1 h ?
  • Quelles sont les procédures utilisées ?
  • Les procédures sont-elles valides ?
  • Les calculs sont-ils corrects ?

Pour optimiser la gestion de la classe, il peut être pertinent de vidéoprojeter le tableau des distances aller-retour pour chaque repère ou de l’imprimer à destination des élèves.

Après la vérification entre pairs et des compléments de l’enseignant, chaque élève peut ensuite écrire un texte qui correspond à son plot tel que : Je réussis le plot 13. J’ai calculé que si j’avais couru 1 h toujours à la même vitesse, j’aurais couru 13 km. Chaque heure, je parcours 13 km. On dit que je cours à 13 km par heure et que ma vitesse moyenne est de 13 km/h.

Les élèves peuvent comprendre à ce stade le concept de vitesse moyenne dans le cadre du dispositif de course fractionné : c’est la vitesse d’un élève qui court de manière parfaitement régulièrement (cela ne peut être qu’imaginaire) sur une distance donnée pendant une durée donnée. Courir à une vitesse moyenne de 27 km/h, c’est courir 27 km régulièrement pendant 1 h. Le numéro du plot 27 correspond à une série courue à la vitesse moyenne de 27 km/h.

Les élèves sont maintenant en mesure d’élaborer un projet de course en toute connaissance de cause : Si je veux réussir une série au plot 18 au maximum de mes possibilités, je dois courir régulièrement et ma vitesse sera ou doit être environ de 18 km/h.

Étapes suivantes en mathématiques

À ce stade, les deux séquences d’EPS et de mathématiques peuvent se poursuivre de manière indépendante l’une de l’autre.

Étude de performances d’athlètes professionnels et calculs

Il est possible de faire étudier les courses et les vitesses de coureurs professionnels sur différentes distances. En effet, un coureur ne peut pas courir 100 m comme il court 1 km ou 25 km. Des données de course d’athlètes de haut niveau sont proposées. Ces données permettent aussi aux élèves de comparer leur propre performance avec celle d’athlète de haut niveau.

En se choisissant une vitesse d’un athlète, les élèves peuvent calculer des durées à partir de distances données ou des distances à partir de durées données.

Calculs à partir de vitesse d’animaux

Il est aussi possible de mener des activités similaires à partir des vitesses de pointe de quelques animaux.

Lien entre une vitesse moyenne et l’indicateur de vitesse d’une voiture

La vitesse indiquée dans une voiture est une vitesse instantanée, elle correspond à la vitesse moyenne de la voiture si celle-ci parcourait une longue distance à vitesse constante.

Par exemple : si le compteur a indiqué exactement 27 km/h pendant 1 h, c’est que la voiture a parcouru exactement 27 km pendant cette heure.

C’est un modèle idéal, une référence pour effectuer des calculs et mesurer la vitesse instanée d’une voiture. C’est un modèle idéal car une voiture (ou tout autre véhicule) ne roule jamais exactement à la même vitesse.

Situations complémentaires en mathématiques

Les étapes mathématiques précédentes peuvent être prolongées, éventuellement à une autre période de l’année, par des exercices classiques de calcul de vitesse sans nécessité d’utiliser une formule du type vitesse = distance / temps.

Par exemple, on peut :

• Demander aux élèves de choisir d’autres durées et d’effectuer les calculs correspondants.
• Demander de calculer la distance parcourue pour 1 s ou la durée correspondant à 1 m parcouru (c’est la technique de retour à l’unité qui facilite les calculs lorsque les cas à traiter sont nombreux).
• Proposer aux élèves de préparer des défis de calculs pour les autres élèves, c’est-à-dire de choisir d’autres durées et d’autres distances et de préparer les solutions correspondantes. Cette option s’inscrit dans la conception universelle des apprentissages, les élèves travaillent dans leur zone proximale de développement car ils doivent préparer des cas qui sont à la limite de leurs compétences (idée de défi) et qu’ils doivent savoir résoudre (pour vérifier les réponses de leurs camarades).
• Proposer à des élèves plus avancés de travailler sur des cas mélangeant des secondes, des minutes, des heures.
• Faire vérifier les distances sur le terrain par les élèves (domaine des grandeurs et des mesures).

« Fraction » et « Course fractionnée »

Il est possible d’indiquer que, dans l’expression « course fractionnée », le terme fractionné signifie uniquement coupé. L’alternance course-récupération n’a pas forcément à se faire en parties équitables, contrairement aux situations mobilisant des fractions.

Annexes

Les annexes (format ODT et PDF) proposent un tableau destiné aux élèves pour effectuer leur calcul, il n’a rien d’obligatoire.